Laravel 5 - Borrar la caché en el servidor de alojamiento compartido

Puedes llamar a un comando de Artisan fuera de la CLI.

Route::get('/clear-cache', function() {
    $exitCode = Artisan::call('cache:clear');
    // return what you want
});

Puedes consultar la documentación oficial aquí http://laravel.com/docs/5.0/artisan#calling-commands-outside-of-cli

Actualización

No hay forma de borrar la caché de la vista. Ni php artisan cache:clear lo hace.

Si realmente quieres borrar la caché de la vista, creo que tienes que escribir tu propio comando artisan y llamarlo como he dicho antes, o saltarte por completo la ruta artisan y borrar la caché de la vista en alguna clase que llames desde un controlador o una ruta.

Pero, mi verdadera pregunta es ¿realmente necesitas borrar la caché de la vista? En un proyecto en el que estoy trabajando ahora, tengo casi 100 vistas en caché y pesan menos de 1 Mb, mientras que mi directorio vendor pesa > 40 Mb. No creo que la caché de vistas sea un verdadero cuello de botella en el uso del disco y nunca he tenido una necesidad real de borrarla.

En cuanto a la caché de aplicación, se almacena en el directorio storage/framework/cache, pero sólo si has configurado el controlador file en config/cache.php. Puedes elegir muchos controladores diferentes, como Redis o Memcached, para mejorar el rendimiento respecto a una caché basada en archivos.

Básicamente quiero borrar la caché de las vistas.

Ahora hay un comando en Laravel 5.1 para eso

php artisan view:clear

Puedes conectarte vía FTP y borrar la carpeta storage\framework\views para laravel 5 o app\storage\views para laravel 4.