Access VBAのような古いVB方言では、デフォルトのプロパティという概念があり、このような書き方をすると自動的にアクセスされます。

s = Me!txtMyTextBox

裏ではVBAが自動的にこんなことをしていました。

s = Me!txtMyTextBox.Value

VB.NETでは、Dim t = Textbox1と記述すると、tはTextBoxと型付けされ、テキストボックスへの参照が含まれます。テキストボックスからテキストを取得するには、その Text プロパティに明示的にアクセスします。

Dim s as String
s = Textbox1.Text;

この文字列を後でどこで使用するかは、あなた次第です。文字列をフォームの外で使いたい場合、2つの可能性があります。フォームに文字列をエクスポートさせるか、フォームから外部に文字列を取得するかです。

1 テキストのエクスポート

モジュール (ここでは MyModule とします) で、パブリックな文字列を定義します。

Public TheText as String

フォームに

MyModule.TheText = Textbox1.Text;

このテキストは、アプリケーション全体でグローバルに利用できるようになりました。

2 外部からの取得

フォームの中で、Textboxのテキストをプロパティで囲みます。

Public ReadOnly Property TheText() As String
    Get
        Return Textbox1.Text
    End Get
End Property

どこか他の場所で、そのフォームがメインフォームで、frmMainと呼ばれていると仮定します。

Console.WriteLine(DirectCast(Application.OpenForms(0), frmMain).TheText)

あるいは、フォーム変数が自分の特定のフォームとして強くタイプされている場合、例えば Dim frm As frmMain (単に Form としてではなく)。

Console.WriteLine(frm.TheText)

テキストボックスからテキストを取得するには、TextBox.Textプロパティを使用して、その値を文字列に格納します。その文字列をファイルに保存するには、System.IO.File.WriteAllText(string filename, string content)を使用します。

文字列を保存して使用する方法はたくさんあります。これは単に、文字列をファイルに保存するための簡単な方法です（必ずしもベストではありません）。