Como faço para obter a contagem de filas de um pandas DataFrame?

Você pode utilizar a propriedade .shape' ou apenaslen(DataFrame.index). Entretanto, há diferenças notáveis de desempenho (len(DataFrame.index)` é mais rápido):

In [1]: import numpy as np

In [2]: import pandas as pd

In [3]: df = pd.DataFrame(np.arange(12).reshape(4,3))

In [4]: df
Out[4]: 
   0  1  2
0  0  1  2
1  3  4  5
2  6  7  8
3  9  10 11

In [5]: df.shape
Out[5]: (4, 3)

In [6]: timeit df.shape
2.77 µs ± 644 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

In [7]: timeit df[0].count()
348 µs ± 1.31 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

In [8]: len(df.index)
Out[8]: 4

In [9]: timeit len(df.index)
990 ns ± 4.97 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

EDIT: Como @Dan Allen observou nos comentários len(df.index) e df[0].count() não são intercambiáveis como count exclui NaNs,

Utilize len(df). Isto funciona a partir de pandas 0.11 ou talvez até mais cedo.

__len__() está atualmente (0.12) documentado com Retorna o comprimento do índice. Informação de tempo, configure da mesma forma que na resposta do root's:

In [7]: timeit len(df.index)
1000000 loops, best of 3: 248 ns per loop

In [8]: timeit len(df)
1000000 loops, best of 3: 573 ns per loop

Devido a uma chamada de função adicional é um pouco mais lento do que chamar len(df.index) diretamente, mas isto não deve desempenhar qualquer papel na maioria dos casos de utilização.

Além das respostas acima, utilize df.axes para obter o tuple com índices de linhas e colunas e depois utilize a função len():

total_rows=len(df.axes[0])
total_cols=len(df.axes[1])