Câte laturi are un cerc?

Răspunsul depinde de definiția cuvântului "side." Cred că aceasta este o întrebare teribilă (edit: pentru a fi pusă la un test) și este genul de lucru care îi va face pe copii să urască matematica. "Side" este un termen care ar trebui să fie rezervat poligoanelor.

Fiul meu de clasa a treia a venit acasă acum câteva săptămâni cu întrebări similare pentru teme:

Câte fețe, muchii și vârfuri are următorul desen? au?

• cub
• cilindru
• con
• sferă

Ca majoritatea matematicienilor, prima mea reacție a fost că pentru aceste din urmă obiecte, întrebarea ar avea nevoie de un răspuns precis definiție a feței, a muchiei și a vertexului, iar aceasta nu este cu adevărat sensibilă fără astfel de definiții.

Dar după ce am discutat despre această problemă cu numeroase persoane, realizând un fel de experiment social/matematic, am observat ceva intrigant. Ceea ce am observat a fost că niciunul dintre prietenii și cunoscuții mei nematematici nu a avut nicio problemă în a folosi un concept geometric intuitiv în acest caz, și au fost cu toții complet de acord că răspunsurile ar trebui să fie

• cub: 6 fețe, 12 muchii, 8 vârfuri
• cilindru: 3 fețe, 2 muchii, 0 vârfuri
• con: 2 fețe, 1 muchie, 1 vârf
• sferă: 1 față, 0 muchii, 0 vârfuri

Într-adevăr, acestea au fost și răspunsurile dorite de către profesorul fiului meu (care este un profesor cu adevărat excepțional). Între timp, toate răspunsurile mele matematice colegi matematici au tăcut și au vorbit despre faptul că nu putem cu adevărat răspunde și, oricum, ce înseamnă "față" în acest context, și așa mai departe; cei mai mulți dintre ei voiau în cele din urmă să spună că un sfera are infinit de multe fețe și infinit de multe vârfuri și așa mai departe. Pentru temele de casă, fiul meu a scris o explicație în care a dat răspunsurile de mai sus, dar a explicat și că exista un sens în care unele dintre răspunsuri erau infinite, în funcție de ceea ce se înțelegea.

La o petrecere din weekendul trecut, plină de matematicieni și filozofi, a fost un joc amuzant pentru prima dată. pune întrebarea unui matematician, care invariabil făcea diverse obiecții și refuzuri și și spunea că nu are sens și așa mai departe, iar apoi soțul/soția nematematician(ă) dădea direct un răspuns complet clar. complet clară. Au existat multe dispute amicale pe această temă în acea seară.

Așadar, se pare, în mod evident, că pregătirea noastră matematică extinsă a a interferat cu capacitatea noastră de a înțelege cu ușurință ceea ce copiii și și nematematicii consideră că este o idee clară și distinctă. concept geometric clar și distinct.

(Cu toate acestea, părerea mea reală este că pregătirea noastră este cea care ne-a învățat că aceste concepte nu sunt atât de clare și distincte, după cum o atestă numeroasele cazuri limită și contraexemple în lupta istorică pentru a găsi definițiile corecte pentru $V-E+F$ și alte teoreme).

În teoria convexității, există o noțiune numită punct extrem care generalizează noțiunea de vertex (sau colț) al unui poligon. Pentru această definiție, fiecare punct de pe un cerc este un punct extrem, astfel încât este logic să spunem că are infinit (nenumărat!) de multe colțuri. Deși noțiunea de latură nu este la fel de bună. Dacă definiția este segmentul de dreaptă care unește două vârfuri, atunci răspunsul ar fi 0 pentru cerc.

Aceasta se referă la răspunsul lui Douglas Stones, dar imaginile nu pot fi inserate în comentarii. Limitele laturilor pot avea un unghi drept, cum ar fi aceste octogoni care converg către un pătrat.

O linie dreaptă poate fi orice număr de laturi cu unghiuri drepte între ele.

Pentru cei care se gândesc că răspunsul este $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$, via:

• Un $n$-gon are $n$ laturi;
• Un cerc este o limită a unui $n$-gon ca $n \rightarrow \infty$;
• Prin urmare, un cerc are $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$ laturi;

Aș vrea să menționez: nu este atât de simplu. Dacă luarea limitelor în acest mod ar fi legitimă, atunci am putea arăta că, de exemplu, un pătrat are un număr infinit de laturi.

Să considerăm o scară cu $n$ trepte, iar fiecare treaptă are înălțimea $1/n$ și lățimea $1/n$. Ea este formată din $2n$ segmente de dreaptă. Pe măsură ce $n \ dreapta \infty$, scara converge către un singur segment de dreaptă (adică limita coincide punct cu punct cu un singur segment de dreaptă).

Dacă lipim patru dintre aceste scări împreună și luăm limita lor, obținem un pătrat, care ar avea $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 4 \ ori 2n = \infty$ laturi.

Personal, obișnuiam să cred că un cerc are laturi infinite; totuși, de ce nu ar putea fi o latură cu o curbă de $360^\circ$?

Ambele răspunsuri 1 și $\infty$ sunt corecte din punct de vedere intuitiv.

La răspunsul "$\infty$": Imaginați-vă că începeți cu un cerc. Acum puteți încerca să aproximați cercul cu un hexagon centrat (la mijlocul cercului). Următorul pas este de a dubla numărul de colțuri pentru a obține un dodecagon regulat și așa mai departe. Din punct de vedere geometric, se observă că al $n$-lea poligon regulat prin această construcție va aproxima cercul mai bine decât al $(n-1)$lea. Puteți analiza acum numărul de laturi în timpul acestei aproximări prin dublarea numărului de colțuri: $6\to12\to24\to48\to96...\to6\cdot2^n=3\cdot2^{n+1}$. Luând $n\la\infty$ se observă că se obțin $\infty$ laturi. (dar lungimea lor ajunge la zero...)

La răspunsul "1": Pe de altă parte, nu este intuitiv să o numim "latură" atâta timp cât lungimea ei$\ntre 0$, care este starea într-un cerc (amintiți-vă definiția cercului ca fiind un ansamblu de puncte). Dar ceea ce se obține este o linie curbă (cercul însuși), care ar putea fi interpretată ca o "latură", deoarece separă regiunea interioară de mediul său. Și aceasta este o linie. Acesta ar putea fi motivul pentru răspunsul "cercul are o singură latură".

Cu toate acestea: "$\infty$ sau 1?" este o întrebare care provine din întrebarea referitoare la definiția cuvântului "latură". (și, după cum se poate observa, "latură" are sens doar pentru poligoane).